वर्ग आणि वर्गमूळ – Squares and Square Roots

वर्ग आणि वर्गमूळ – Squares and Square Roots

वर्ग संख्या विषयी काही महत्वाच्या गोष्टी

दिलेले अंक हे ज्या संख्येच्या शेवटी असतात त्या ठिकाणी वर्ग केल्यावर एकक स्थानी कोणता आकडा असतो हे जाणून घेऊयात.

1. 1 व 9 या संख्यांच्या वर्गाच्या एकक स्थानी 1 असतो.
2. 2 व 8 या संख्यांच्या वर्गाच्या एकक स्थानी 4 असतो.
3. 3 व 7 या संख्यांच्या वर्गाच्या एकक स्थानी 9 असतो.
4. 4 व 6 या संख्यांच्या वर्गात एकक स्थानी 6 असतो.
5. 5 च्या वर्गात एकक स्थानी 5 असतो.

• उदा : 43 संख्येचा वर्ग हा 1849 आहे. या उदाहरणात संख्येच्या शेवटी 3 हा आकडा आहे आणि वर्ग संख्येत आपल्याला एकक स्थानी 9 आहे. जर आपण 1849 संख्या पाहिली आणि वर्गमुळात त्यामुळे आपल्याला एककस्थानी 3 किंवा 7 हा अंक असेल.
• 18 ही संख्या 4 च्या वर्गापेक्षा मोठी आहे. त्यामुळे वर्गमूळ हे 43 किंवा 47 असेल.
• परंतु 40 चा वर्ग हा 1600 आहे व 50 चा वर्ग 2500 आहे. 1849 ही संख्या 1600 च्या जास्त जवळ आहे त्यामुळे 1849 चा वर्गमूळ हे 43 आहे.

शेवट 5 असणाऱ्या संख्यांचा वर्ग

एखाद्या संख्येच्या शेवटी 5 हा आकडा असेल तर तिचा वर्ग कसा काढावा याविषयी माहिती

आपण 75 चा वर्ग कसा काढावा हे उदाहरण बघूया.

• संख्येच्या शेवटी 5 असेल तर त्या संख्येच्या वर्गात शेवटचे दोन आकडे हे 25 असतात.
• दशक स्थानी असलेला अंक आणि त्याच्या पुढचा अंक याचा गुणाकार आपल्याला करून तो सुरुवातीला लिहावा लागतो.
• म्हणजे आपल्या उदाहरणात दशक स्थानी 7 अंक आहे व त्याच्या पुढचा अंक हा 8 आहे. त्यामुळे 7×8 =56 हा आकडा आपल्याला मिळतो.
• आणि शेवटी 5 असल्याने आपण वर्गात शेवटी 25 लिहितो.
• त्यामुळे (75)^2 =5625 असा येतो.

दोन अंकी संख्यांचा वर्ग काढताना

गणितात एक सूत्र आहे 

(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2

याचा वापर करून आपण दोन अंकी संख्यांचा वर्ग सहज काढू शकतो.

• उदा : 23 चा वर्ग काढुयात
• यात आपण A=20 आणि B=3 पकडूयात
• म्हणजे (23)^2 = (20+3)^2
• = (20^2) + 2(20)(3) + (3^2)
• = 400 + 120 + 9
• = 529

वर्ग आणि वर्गमूळ यांच्या ट्रिक्स

उदा : खालील पैकी पूर्ण वर्ग संख्या कोणती?

1. 0.196
2. 19.6
3. 1.96
4. 0.00196

उत्तर : 1.96

या उदाहरणात आपल्याला एक क्लुप्ती वापरायची आहे ती म्हणजे पूर्ण वर्ग संख्येच्या अपूर्णांकातील स्थळांचे स्थान हे सम हवे. पर्याय 1 मध्ये ते स्थान 3 आहे, पर्याय 2 मध्ये ते 1 आहे तर पर्याय 4 मध्ये ते स्थान 5 आहे. म्हणजे तिन्ही पर्यायात हे स्थान विषम असून फक्त 3ऱ्या पर्यायात हे स्थान सम म्हणजे 2 आहे.

उदा : खालील पैकी कोणती संख्या पूर्ण वर्ग असू शकेल?

1. **304
2. *50
3. 7*38
4. *765

या उदाहरणासाठी आपल्याला लक्षात घ्यायचे आहे की कोणत्याही वर्ग संख्येच्या एकक स्थानी 1,4,5,6,9,0 हे अंक येतात. संख्येच्या एकक स्थानी 5 अंक असेल तर संख्येच्या दशक स्थानी 2 हा अंक असतो. संख्येच्या एकक स्थानी जर 0 असेल तर संख्येत शेवटी 2 च्याA पटीत 0 येतात.

उदा: √[(26)^2-(10)^2] = ?

1. 4
2. 16
3. 24
4. 48

उत्तर : 24

आपल्याला गणितातील आणखी एक सोपा फॉर्म्युला इथे वापरायचा आहे , तो म्हणजे

√[a^2-b^2]= √[(a+b)(a-b)]

इथे आपण अगोदर (26^2)-(10^2) = (26+10)(26-10)

=36×16

याच आपण वर्गमूळ घेतले तर आपल्याला =6×4 मिळेल

त्यामुळे √[(26)^2-(10)^2] = 24

उदा: 81×64= 5184 : √5184= ?

1. 62
2. 72
3. 68
4. 78

उत्तर : 72

जर एखादी संख्या दोन वर्गसंख्यांच्या गुणकारात लिहिता येत असेल तर आपण ही ट्रिक वापरू शकतो.

√(a^2×b^2) = √a^2 × √b^2 = a × b

इथे 

√5184 =√(81×64)

=√81 × √64

= 9 × 8

= 72

उदा : √0.0289 = ?

1. 1.7
2. 0.17
3. 17
4. 0.017

उत्तर : 0.17

गणितात एक नियम आहे, वर्गमुळात शून्य आणि दशांशस्थळे ही निम्मी होतात.

आपल्याला √289 = 17 हे माहीत आहे

मग √2.89 = 1.7

√0.0289 = 0.17

√0.000289 = 0.017

यात आपण आणखी एक उदाहरण बघुयात की 640000 चे वर्गमूळ किती?

आपल्याला माहीत आहे की 64 हा 8 चा वर्ग आहे. त्यामुळे 80 चा वर्ग हा 6400 आणि 800 चा वर्ग हा 640000 आहे. 

त्यामुळे 640000 चे वर्गमूळ हे 800 आहे.

उदा : √(1.44/x) = 0.1 ; x = ?

1. 1.44
2. 12
3. 144
4. 14.4

उत्तर : 144

√(1.44/x) = 0.1

(1.44/x) = (0.1^2)

(1.44/x) = 0.01

:: x = 1.44/ 0.01
x = 144

उदा : √{21 + √[10 +√(36)]} = ?

1. 6
2. 2
3. 5
4. 7

उत्तर : 5

√{21 + √[10 +√(36)]} = √{21 + √[10 +6]}

=√{21 + √[16]}

=√{21 + 4 }

=√{25}

= 5